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对NURBS曲线曲面进行形状调整的分析pdf

发布时间:2019-07-03 08:33 来源:未知 编辑:admin

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  山东大学硕士学位论文 ModificationCurves Shape ofNURBSandSurfaces Graduate Sun Student:LiJun Director:Prof.CalMingZhang ABSTRACT oneof industrialstandardsof As international Aided CAD(Computer curvesandsurfaceshavewide in Design)systems,NURBS applications Geometric GM Aided Graphics)and CAGD(Computer Design),CG(Computer the ofthis (Geometric wide geometricmodel, applications Modeling).With in interactive isa to the eSDeC some ally keystepadjust designs,it the curvesandsurfaces.Thissummarizedsome of NURBS paper ShaDe curvesand and eXlStmethodsto the ofNURBS surfaces ng adjustshape namedcross of vectors anewmethodwhichis a producttangent presents method。 concise andthe abrief introduces concepts Firstly,thepaper andthe for ofNURBS.The adjusting essentiality development feasibility andsurfacesare the of curves the theNURBS presented.Infollowing shape are as knot methods sections,someexisting illustrated,suchadjusting control the weights,adjusting vertexes,adjusting vectors,adjusting ofsome and some for givingperturbations changes geometricproperties control the summarizestheabove those over,thispaper points.More them. and neededfor methodsand outthedeficiencies points improvements surfacesabove For adjust using methods,they example,whendesigners indirect.Itis thatitis and feel trivial,costingtime,difficult thetotal control difficulttomaintenance propertiesbyadjusting above wedrawaconclusionthat methodsl analyzing pointslocally.By the andsolve definean function equations, itis to objective important method. oninournew focused whichare 山东大学硕士学位论文 In describesthestandardsfor addition,this paper the evaluating ofNURBScurves and surfaces.Thestandardsaredivided shape into two firstdefinesthe which types.The isbasedonthe type principle distance betweentwocurvesand theotherdefines whichisbasedonthe principle of new fairnessthe curve. Inthe anew following methodto chapters,thepaperpresents adjust the ofNURBS isalsonamed shape curves,it CrossProductofTangent Vectors.Thenewmethoddefined the functionthe objective by integral ofthe cross ofthetwo vectorsofthe squaredproduct tangent original andnew obtainedthe ofcontrol vertexesand curves,then changes obtained the NURBS method concludes: desiredcurves.Themainly definitionofconstraint 1)The tothe conditions:according ofNURBS and atsome definitioncurve onthe geometricpropertiespoints curve,the mathematics are correspondingexpressionsobtained, constraint set conditionsare up. 2)The the function:thefunctionis settingup objective objective the the defined of cross ofthetwo by integralsquaredproduct tangent ofthe new vectors and original curves.ConsequentlF,the objective functionisminimized.Thenwe thelinear with get equations together aboveconstrainedconditions. solutionofthe can the 3)The objectiveequations:we valuesof get the the ofthe bycomputing.So control are equations changes points obtained. Inthe esfor the and errors last,the ofthe exampl comparing shapes the and methods curves newmethodotherthree areincluded.Thethree by methodsare methodand min—lengthmethod,bending—energy stretch—energy drawaconclusionthatthenewmethodismoreeffectiveand method.We thenewmethodmakesthedeviationofthenew showsthat practical.It curvethe the makesthenew have curvefrom one shape originalleast,which 山东大学硕士学位论文 definedthe while curve the by original conditions satisfying required the modification.Inthe wiIidomoreresearch by future,we worktofind whether out thenewmethodcan functionsinother getsatisfyingobjective catiORSofCAGD. app]i This canbe to method extendedtheNURBSsurfaces.The method adjusts the ofsurface ofsome on shape by geometric changing propertiespoints itand from makesthedeviationofthenewsurfacethe oneleast original can the conditions.Themethodbeusedasaneffective satisfying giyen surfaces andflexiblemeasureto NURBS interactively. adjust Keywords: Method Method;Bending—Energy CAGD;CAD;CAM:B-spline;NURBS;Min—Length Function Method:Lagrange Stretch—Energy 山东大学硕士学位论文 原刨性声明 本人郑重声明:所呈交的学位论文,是本人在导师的指导下,独立进 行研究所取得的成果。除文中已经注明引用的内容外,本论文不包含任何 其他个人或集体已经发表或撰写过的科研成果。对本文的研究作出重要贡 献的个人和集体,均已在文中以明确方式标明。本声明的法律责任由本人 承担。 论文作者签名: 蛰:剑焘 日 期: 弘。垆、l,b 关于学位论文使用授权的声明 本人完全了解山东大学有关保留、使用学位论文的规定,同意学校保 留或向国家有关部门或机构送交论文的复印件和电子版,允许论文被查阅 和借阅;本人授权山东大学可以将本学位论文的全部或部分内容编入有关 数据库进行检索,可以采用影印、缩印或其他复制手段保存论文和汇编本 学位论文。 (保密论文在解密后应遵守此规定) 论文作者签名:盈!垒!j.簋芝导师签名:啦日期:礁!!:!::3 山东大学硕士学位论文 第一章绪论 1.1 NURBS曲线曲面的发展历史 Aided Aided CAD(Computer Design)/CAM(ComputerManufacture)技术起源 于航空工业.由于飞机的外形复杂,含有大量的曲面,因此,CAD/cAM技术从一 Aided GeographicDesign)中最重要的一个概念,NURBS曲线曲面理论的发展与 完善是国内外无数科研工作者几十年的努力的结果. 60年代初,Ferguson首先在飞机设计上应用了参数三次曲线‘“,引入了参 数方法表示的自由曲线设计了以逼近为基础的曲线曲面 造型系统UNISURF,其核心思想是用控制网格定义曲线年,Farin“更进一步研究了能统一表示圆锥曲线与自由曲线的有理 雎zier曲线. deBoor“““1和Cox“23分别对B样条曲线年代初,Gordon和 Riesenfeld等人研究了非均匀B样条”‘”’“1,并首次将B样条应用到外型设计 的节点插入算法““:Tiller论述了有理B样条曲线曲面的具体应用““.此后,L Piegl和W.Tiller更系统地探索了有理B一样条曲线曲面的构造和形状调整问 题,并系统论述TNURBS(Non—Uniform 可以用统一的方式表示由一次,二次曲线曲面和其它自由曲线曲面复合成的复 杂曲线曲面,同时具有局部性及连续阶可调性,所以它在外形设计方面具有强大 的功能与潜力,逐步成为几何造型的核心技术.NURBS方法的引入大大增强了 CAD/CAM系统的曲面造型功能,因而得到了日渐广泛的应用.目前,产品模型 of Model for ProductData) theExchange 数据交换的国际标准STEP(Standard ——一些查奎堂堡主兰垡堡奎 的基本几何表达形式和数据交换的国际标准 1.2 NURBS曲线B样条曲线的定义和性质 设矗,日,曼,…,只为空间中给定 n+1个点,称下列参数曲线 、 月 ‘一,≤t≤o。 P(f)=∑只E,。(r), 为k阶(或七一1次)的B样条曲线,折线昂墨B…只为Pq)的控制多边形,点集∽) 为P(t)的控制顶点,见图1.1。 由置。(f)的性质知B样条曲线 e(t)具有以下性质 (1)局部调整性 图1·1 8样条曲线及其控制多边形 由于B样条基函数置j(f)只在 ◇,‘+。)上不为零,曲线≤i≤聍)上的部分只与控制顶点 卫一,,#“+2,…,只有关。反过来,如果只变动某一个控制顶点霉(O≤i≤) 分均不发生变动。这就为设计曲线时修改某一局部的形状带来了很大方便。 (2)几何不变性 和B∈zier曲线一样,B样条曲线也具有几何不变性,即曲线P(f)的形状和位 置与坐标系的选择无关。 (3)分段参数多项式 多项式曲线+。]上是关于参数f的分段多项式曲线。 山东大学硕士学位论文 (4)连续性 续阶不低于k-1-Im。,其中‘。表示位于区间[1k-I,‘+,】内节点的最大重数。 (5)凸包性 曲线P(t)在区间哦,ti+。】(k-1≤i≤/-/)上的部分位于k个控制顶点异。。, 只+:,…,只的凸包Ci内。整条曲线P(r)则位于各凸包cl的并集Ue之内。 ,。★一l (6)保凸性 B样条曲线zier曲线一样,也具有保凸性,即当连接£昂后,如果 昂置昱…£形成一个平面凸的闭多边形,则P(f)是一条平面凸曲线B样条曲线)变差缩减性 设P(r)的控制多边形昂弓昱…只是一平面多边形,则该平面内的任意直线与 P(f)的交点个数不多于该直线与其控制多边形的交点个数。 (8)造型的灵活性 设计曲线时,有时希望在曲线某一点处形成角点,或将某一段变成一直线段, 或要求曲线与某一直线相切。B样条曲线提供了实现这些要求的手段。灵活地选 择控制点的位置和节点f.的重数,可形成许多特殊形状,以满足设计的要求。 (9)导数曲线 由B样条基函数的导数公式得到B样条曲线的导数曲线) P(f):(¨)窆善粤‰(r),。.≤f l I-1J+女一1一Ii 它是一条k一1阶(或k一2次)的B样条曲线。 山东大学硕士学位论文 B样条曲线P(r)一般不经过只和只两点,如果要使曲线经过只和只两点 只需定义to=‘~t2 ,一tk一1和乙“=0+2一._t+k即可。 和B6zier曲线一样,从图形上看,可用控制多边形大致勾画B样条曲线的形状, 再通过局部修改方便地调节曲线,使曲线的形状满足设计要求,因此B样条蓝 线是很适合用作人机图形交互的一种曲线B样条曲面的定义和性质 的“轴和v轴的分割,见图1_3。称下列张量积形式的参数益面为k×h(k≤H,h ≤m1阶的B样条曲面 ““l≤“≤蝴+1,V¨≤V≤Vm+】(1.3) e(u,V)=∑∑弓置,£@)哆^(V), 或∞(v)分别是关于节点向量u,矿的豇阶和厅阶的B样条基函数a由两组多边形 1.4)称为P(u,v)的控制网格,且记为{弓}。 圈13“v平面的分割 图1.4B样条曲面及其控制网格 {只)的逼近。B样条曲面也具有局部调整性、凸包性、几何不变性等:它的控制 网格也是人机交互的手段。 山东大学硕士学位论文 1.2.3NURBS曲线的定义和性质 NURBS曲线。”为一分段的多值有理多项式函数。设最,暑,县,…,£为空间中给 定的I1+1个点,称下列参数曲线 %I≤“≤“”+l (1.4) P@)=∑只置,I(“) i=0 为k阶(或t一1次)的B样条曲线,折线晶只最…只为P(“)的控制多边形,点集{只) B一样条基函数骂.。(“)定义的基函数 ,、 形E,t和) R础(Ⅳ)=i』!二二。 ∑WsBj』,(“) j=O NURBS曲线同B样条一样,也具有局部调整性、凸包性、几何不变性等性 质。同时由于权因子的加入,使得对于它的调整更增加了灵活性。 1.2.4NURBS曲面的定义和性质 NURBS曲面。”的定义同B样条曲面类似,由式1.5定义 H Ⅲ ∑∑B础@)Bj.一(V)%弓 ““l≤材≤“n+1,V扣l≤V≤V珊州(1.5) P(u,v)=立竿专——————一 ∑∑E,。(u)Bj,。(V)% i=Oj=O Bj。(v)分别是关于节点向量u,V的.i}阶和矗阶的B样条基函数,%为权函数。 NURBS曲线曲面具备多项式B样条方法所具有的一切特性。 1.3 对于NURBS曲线曲面形状进行调整的必要性和可行性 作为CAD系统国际工业标准之一的NURBS曲线曲面在计算机辅助几何设计 山东大学硕士学位论文 用,它的作用主要基于以下优点: 1.可用一个统一的表达式同时精确表示标准的解析形体(如圆锥曲线、旋 转面等)和自由曲线.为了修改曲线曲面的形状,既可借助调整控制顶点,又可利用权因子 因而具有较大的灵活性。 3.与多项式B样条一样,NURBS方法的计算也是稳定的。 4.NURBS曲线曲面在线性交换下是几何不变的.线性交换系指缩小、旋转、 平移、剪变、平行与透视投影等。 5. 已经具有功能完善的几何计算工具,其中包括节点插入与删除、节点加 密、升阶、分割等的算法与程序。这些工具可用于整体设计、分析、加 工和查询过程中。 基于这些优点,我们看出对于NURBS曲线曲面形状进行调整是可行的,而且 能够进行局部调整,调整的方法也有多种,比如;借助于控制顶点、权因子等等 属性。我们为何要对NURBS曲线曲面进行形状调整呢? 因为在工程设计中,比如CAD种设计一个模具的几何造型,首次设置的参数 (比如:控制点和权因子)不够合适的话,产生的形状与想象中的可能会差距很 大,为了使设计者能够更好地设计出想要的产品,必须对得出的曲线曲面进行修 正,最好能够从直观上直接进行修正和调节,这是十分必要的。如何更快更好更 有效地满足设计者调节曲线曲面的要求显得十分迫切,各种调整方法正是基于此 而提出并且不断完善的。 1.4 NURBS曲线曲面形状调整在曲面造型中的重要性 Aided Geometric Design)$Ⅱ 曲面造型(SurfaceModeling)是CAGD(Computer CG(ComputerGraphics)的一项重要内容,主要研究在计算机图象系统的环境下对 曲面的表示、设计、显示和分析。它起源于汽车、飞机、船舶、叶轮等的外形放 样工艺,由Coons、Bezier等大师于二十世纪六十年代奠定其理论基础。如今经 B—spline 过三十多年的发展,曲面造型现在已形成了以有理B样条曲面(Rational AlgebraicSurface)表示这两类 Surface)参数化特征设计和隐式代数曲面(Implicit 山东大学硕士学位论文 段为骨架的几何理论体系。 出将曲线曲面表示为参数的矢函数方法,并引入参数三次曲线。从此曲线曲面的 参数化形式成为形状数学描述的标准形式。1964年美国麻省理工学院的Coons 发表一种具有一般性的曲面描述方法,给定围成封闭曲线的四条边界就可定义一 块曲面。但这种方法存在形状控制与连接问题。1971年法国雷诺汽车公司的 Bezier提出一种由控制多边形设计曲线的新方法。这种方法不仅简单易用,而且 漂亮地解决了整体形状控制问题,把曲线曲面的设计向前推进了一大步,为曲面 造型的进一步发展奠定了坚实的基础。但Bezier方法仍存在连接问题和局部修改 功地解决了局部控制问题,又轻而易举地在参数连续性基础上解决了连接问题, 从而使自由型曲线曲面形状的描述问题得到较好解决。但随着生产的发展,B样 条方法显示出明显不足秉不能精确表示圆锥截线及初等解析曲面,这就造成了产 品几何定义的不唯一,使曲线曲面没有统一的数学描述形式,容易造成生产管理 理B样条(NURBS)方法成为现代曲面造型中最为广泛流行的技术。从它的发展 历史我们可以看出NURBS方法的提出和广泛流行是生产发展的必然结果。所以 它的重要性也就不言而喻了。 从研究领域来看,曲面造型技术已从传统的研究曲面表示、曲面求交和曲面 拼接,扩充到曲面变形、曲面重建、曲面简化、曲面转换和曲面等距性。这其中 曲碰的变形是最基本也是最广泛应用的方法,传统的NuRBS曲面模型仅允许调 整控制顶点或权因子来局部改变监面形状,至多利用层次细化模型在曲面特定点 进行直接操作;一些简单的基于参数曲线的曲面设计方法,如扫掠法(Sweeping)、 蒙皮法(Skinning)、旋转法和拉伸法也仅允许调整生成曲线来改变曲面形状。计 算机动画业和实体造型业迫切需要发展与曲面表示方式无关的变形方法或形状 山东大学硕士学位论文 调配方法,于是产生了自由变形(FFD)法、基于弹性变形或热弹性力学等物理模 型的变形法、基于求解约束的变形法、基于几何约束的变形法等曲面变形技术, 以及基于多面体对应关系或基于图像形态学中Minkowski和操作的曲面形状调 配技术。 1.5 对于NURBS曲线曲面形状进行调整的研究现状和存在的弊端 在cAD/cAM/CAGD中,对NURBS曲线曲面的形状进行调整的历史由来己久, 设计者在修改曲面时,往往要求面向形状的修改。通过间接的调整顶点、权因子 和节点矢量进行形状修改既繁琐、耗时又不直观,难以既定性又定量地修改曲面 的形状。局部调整控制顶点难以保持曲面的整体特性,如凸性或光顺性。后来基 于物理模型的曲面造型方法为克服这些不足提供了一种手段。用基于物理模型的 方法对变形曲面进行仿真或构造光顺曲面是CAGD和计算机图形学中一个重要 研究领域。在这些调整方法中比较有代表性的是LPiegl在1989年发的两篇文 章m·“1。后来陆续有多篇论文陋”’“13‘3”发表来讨论这类问题,但大致的思路主 要有两类:一类是调整节点向量从控制顶点矿或权因子∥”…;另一类是直接改 变曲线或曲面的几何特性。 对于第一类调整,理论上,通过三者任何一个的改变,都能够达到对曲线或 曲面的调整。实际上,为了便于交互式操作和基于直观性的考虑,主要表现为对 控制点的改变陆’“’4“‘…。另外通过改变权因子的操作对NURBS曲线或蓝面进行修 改,从某种角度看,等同于控制点的改变啪’“,但由于其修改能力十分有限,一 般不采用这种形式。 , 在几何建模和图形应用中,有时需要改变曲线或曲面的几何特性来调整它们 的形状,这些几何特性是很重要的。比如:曲线上某一点的位置、斜率、曲率等 “…。常规的方法一般不能够直接通过调整曲线上任意点的几何特性来达到调整曲 线的目的:但有时可以改变一些特别点的几何属性,比如Bezier曲线,只能够 调整它两个端点的性质,而不能直接控制它的内部点。相似的问题在NURBS曲线 Fowler对此进行了研究”“,并提出了解决的方法 曲面上也有体现。Barry (min—length法),但是该方法得到的结果在某种意义下不是最优的,例如:该 方法产生出的新曲线和原曲线的偏离误差并不是最小的。另外,基于精确能量函 山东大学硕士学位论文 数的方法虽然很好,但由于它求解的非线性性,在实际应用中都用它的近似形式 来代替。“3“321 3“,这样形成了两种方法:折弯能量法(bending)和拉伸能量法 (stretching),但用它们产生的结果在许多情况下也不很理想。 1.6 本文的目的和主要成果 鉴于目前NURBS蓝线曲面形状调整方法需求的迫切性和以上所述方法的弊 端,本文首先针对这类调整问题的以往方法进行概要的分析和总结,主要是提出 了一种调整NURBS曲线形状的新方法——导矢叉乘法,并对这种方法进行了比较 详细的论述。 应用该方法对NURBS曲线迸行形状调整,可使修改后的曲线与原曲线的偏离 在给定目标函数的意义下尽可能小。方法的基本思想是采用极小化新旧曲线上对 应点的两个导矢叉乘平方的积分,实现使修改后的曲线与原曲线的偏离尽可能 小。瓤方法得到的方程为线性方程,便于求解,适合于CAGD中的交互式设计。 而且通过和折弯能量法、拉伸能量法还有min—length法进行比较的结果说明新 方法要好于其它三种方法。 因为NURBS曲线的方法可以很方便地向NURBS曲面的表示方法扩展,因而本 文提出的方法可以很容易地推向NURBS曲面,从而有效地解决NURBS曲面的形状 调整问题。由于NURBS曲线曲面在几何造型和工程设计中的广泛应用,可以预计 这种方法必能够给CAD/CAGD/CAM和几何造型设计添入新的活力。 山东大学硕士学位论文 第二章NURBS曲线 通过节点向量的变化进行形状调整 Piegl,L在文章。”。“中就通过节点向量的变化来对B样条曲线曲面进行调整 作了比较详细的论述。还有一些论文也提到和论述了相关的结论“。。根据B样条 的定义,以曲线为例,当曲线以相同的权因子,相同的控制顶点进行变换,仅改 变节点向量值的时候。实践结果表明,对于形状调整来讲,很难直观地看出蓝线 改变量和节点向量改变量之间的关系。 2.2 通过控制顶点的变化进行形状调整 关于通过控制顶点的变化来对NuRBS曲线进行形状调整,以往的文章中有过 比较多的论述。“““。373,它们都提到了通过控制顶点来对NURBS进行调整,调整的 结果和表现的直观意义,Piegl,L和Javier给出了比较直观的解释。 按照1.2.3节中的NURBS曲线定义,现在设此曲线为P(Ⅳ),如果改变其中一个 控制顶点(比如:P;),变换的形式和相应的蓝线)。 P:=p}+dkv P‘@)=P(甜)+vd(u) (2.1) 其中:d(Ⅳ)=以也(甜),fvJ=l。通过改变控制顶点,变换前后的图形如图2.1 所示。 山东大学硕士学位论文 (图2.1) 图中,U={0,0,0,0,1,2,3,4,5,6,6,6,6),权因子相同 2.3 通过权因子的变化进行形状调整 通过权因子的变化只是针对NURBS睦线和曲面进行的调整,在以往的研究论 文中既提到了如何调整““2““嚣’8埘,又指出了调整权因子对应的直观解释,以 及同调整控制顶点的联系。首先根据权因子的特性从物理意义上和重心予以类 比,由于权因子权和为一,每个权因子对应一个控制多边形(网格)中的一个顶 点。调整浙一顶点所对应的权因子,就是加大此顶点在所有顶点中的比重,类似 于重心,那么曲线向此顶点偏转比原来要大一些。根据Javier。”的研究发现,权 因子的变化,可以从另一种意义上理解为控制顶点的改变,应用透视函数变换, 当需指定一点作为透视中心。关于如何指定透视中心,参见…。 指定--NURBS曲线),如果改变其中一个控制顶点(比如: P。)的权因子w。,变为以w。。那么相应的盐线)。 ∥㈨=舞其中砌Ⅲ地-1聃) (2.2) 选择P。为透视源点,相应的直观变换图(如图2.2)如下; 山东大学硕士学位论文 (图2.2) P+(“)的w={1,l,l,1,5,l,1,1,1)。 2.4 通过几何性质的变化作为约束进行的形状调整 Fowler。”就提出了直接改变参数曲线上某个点或某些点 早在1993年,Barry 的几何属性(比如:位置、且线、曲率等)来直观地对曲线进行调整的思想,并 且进行了相关的推导和例证。 他是基于参数曲线的表示形式,假设一条有理参数曲线的方程为: Q@)=∑只R时@) (2.3) Q‘气Ⅳ)=∑置R‘“时@) V1≥0(2.4) i=0 表示此曲线的,阶导数。这一形式对于其它参数曲线也类似。这里的导数表 示可以同曲线上某些几何属性联系起来,这些几何属性包括有:位置,切矢和曲 率等。例如,某一点五处的切矢发生变化时,可以通过方程(2.5)来表示。 2

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