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CAD中带形状参数曲线曲面与研究pdf

发布时间:2019-06-12 04:24 来源:未知 编辑:admin

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  摘 要 在CAD中参数曲线曲面造型方法运用得非常广泛,本文对参数曲线曲面造型 一 的一种新方法——带形状参数样条曲线曲面造型方法进行了深入的研究。首先系统 地介绍了CAD中带形状参数曲线曲面造型方法的发展历史和背景,然后利用递归 和积分方法构造了带形状参数样条基函数,根据初始函数和节点向量的选取产生了 不同的带形状参数样条基函数,最后对带形状参数样条基函数的性质,形状参数的 取值范围,以及带形状参数样条曲线的VD性质进行了讨论。本文就以下几个方面 给出了研究成果: (1)带形状参数均匀样条曲线曲面 利用递归和积分方法选取了三种初始函数,分别生成了k阶(k≥2)带形状参数 均匀B样条曲线曲面,带形状参数三角多项式均匀B曲线曲面,带形状参数双曲多 项式均匀B曲线曲面,它们都有一个可调形状参数,并且有高于∥样条曲线连续。在控制多边形不变的情况下,通过调整形状参数 .能生成不同位置的曲线,同时具有与均匀B样条曲线相同的结构和几何性质。随着 阶数的升高;形状参数可调整范围也越来越大.带形状参数三角多项式均匀B样条 曲线可以精确表示圆,椭圆,螺旋线。带形状参数双曲多项式均匀B样条曲线可以 , 精确表示双曲线zier样条曲线曲面 利用递归和积分方法选取了三种初始函数,分别生成了k阶(k≥2)带形状参数 B6zier曲线曲面,.它们都有一个可调形状参数,拥有许多和B6zier曲线曲面相同的 ■ 结构和性质以及一些使用的几何特性。在控制多边形不变的情况下通过调整形状参 f 数,能生成位于B6zier曲线曲面附近的不同位置的曲线曲面。随着形状参数的增大, 带形状参数的B6zier样条曲线更加逼近其控制多边形。 (3)带形状参数样条曲线曲面 ● f.=o,±1,…,利用递归和积分方法选取 给定参数r轴的一个分割丁:{t.,一130,‘≤ti+l 了三种初始函数,分别生成了k阶(七≥2)带形状参数B样条曲线曲面,带形状参数 三角多项式B样条曲线曲面,带形状参数双曲多项式B样条曲线曲面,它们都有一 个可调形状参数,并且连续阶c≥七一1一m,聊=ma)【{节点。的重数%),因而在控 制多边形不变的情况下能生成不同位置的曲线曲面,同时具有与B样条曲线曲面相 同的结构和几何性质。当节点向量丁:{,f)二,‘≤‘+.,f-o,±1,…取为{0二,f-o,±1,…, 则分别可以得到带形状参数均匀B样条基函数,带形状参数三角多项式均匀B样条 基函数,带形状参数双曲多项式均匀B样条基函数;当节点向量T:{o)二, ‘≤ti+l 曲多项式B6zier基函数。 (4)带形状参数样条基函数的全正性 用数学归纳法分别证明了,当形状参数五∈【一2,1]时,带形状参数的均匀B样条 基函数是规范化全正基:当形状参数五∈【一l,1】时,带形状参数的三角多项式均匀B 1 样条基函数规范化全正基;当形状参数一cth2÷≤五≤0时,带形状参数的双曲多项式 2 均匀B样条基函数规范化全正基。所以当形状参数在一定范围内时,上述三种带形 状参数的均匀样条曲线具有VD性质,从而拥有很好的保形性。 关键词: 形状参数, B样条, B6zier基函数,全正性, VD性质,节点向量 2 Abstract The curvesandsurfaces are inCAD.Inthis parameter used modeling verywidely we researchanew in curvesandsurfaces paperprofoundly techniqueparameter curvesandsurfaces with modelingparametermodeling shape introducethe and of curvesandsurfaces developmenthistorybackgroundparameter basisofinitialfunctionandnode modeling、析tllshapeparameter.Then vector,the differentbasic functions areconstructedrecursionand spline wi也shapeparameter by ofbasic functionswith integralapproach.Theproperties spline shapeparameter,the of andtheVD of curveswith are rangeshapeparameter propertyspline shapeparameter alldiscussed maincontributionsarelistedasfollows: lastly.The curvesandsurfacesWitll (1)UniformSpline shapeparameter threeinitial wecan uniformB functions,then Choosing getk-th(k≥2)order curvesandsurfaces、Ⅳitll and spline shapeparameter,trigonometricpolynomial uniformB curvesandsurfaceswith hyperbolicpolynomial spline shapeparameter.They all one andCanreachCHthatis possessadjustableshape than∥ parameter higher curveswhichisG2continuous.ThedifferentcurvesCanbe spline adjustedbychanging ininvariablecontrol at shapeparameter andthesalTletime havethesame polygon they structureand asuniformB Curves.Withtheelevationof geometryproperties spline order, feasibleofthe valueisextended.The andhelices range shapeparameter circle,ellipse Canbe with uniformB curves、析th representedtrigonometricpolynomial spline shape Canbe the uniformB parameter.Thehyperbolarepresented、析m hyperbolicpolynomial ’ curveswith spline shapeparameter. ● curvesandsurfaceswith (2)B6zier Spline shape parameter three initial wecan B6ziercurves Choosing functions,then getk-th(k≥2)order and surfaceswith and shape parameter,trigonometricpolynomialhyperbolicpolynomial B6ziercurvesand surfaceswith all one shapeparameter.Theypossessadjustableshape andhavethe parameter sanqestructureand asB6ziercurves.The geometryproperties differentcurvesontheB6zier lying curvecanbecreated in bychangingshapeparameter invariable control and tothecontrol astheincreaseofthe polygonapproximate polygon ’ shapeparameter. curvesand (3)Splinesurfaces谢tll shapeparameter Given axis three parameter initial wecan functions,then B curvesandsurfaceswith getk-th(七≥2)order spline and B shapeparameter,trigonometric curves polynomialhyperbolic polynomialspline andsurfaces with all one and shapeparameter.Theypossess adjustableshapeparameter thecontinuous orderis itiesofknot multipl c≥七一1一所,m=max{the mj o}. Sothe differentcurvesandsurfacescan withthe appear invariablecontrol and polygon thesamestructureand with curvesandsurfaces. possess geometrypropertiesB-spline When thenode wecan order respectively uniformB curvesandsurfaceswith get spline shapeparameter, and uniformB curvesand trigonometricpolynomial hyperbolicpolynomial spline surfaces with thenodevector shapeparameter.When T:{t.J—ao,t≤01,i=o,±1,…is wecan B6zierbasiswith {0=to=…=‘-ltk=…t2¨=1),thenrespectivelyget shape and B6zierbasiswith parameter,trigonometricpolynomial hyperbolicpolynomial shape parameter. (4)The ofthe basis淅tll TotallyPositivitySpline shapeparameter Byinduction B basiswith are when五∈卜2,1】,uniformspline shapeparameter normal uniformB totallypositivitybasis;when五∈【-1,1】,trigonometric polynomial basiswitll arenormal spline shape parameter totallypositivitybasis;when uniformB basiswith are polynomial spline —c历2去≤五≤0,hyperbolic shapeparameter L basis.When isinsome three normal‘totallypositivity shapeparameter interval,the uniformcurves VD have 、 spline possessproperty,SOgood shapepreserving. basis vector KeyWord:shapeparameter,B function,VD spline,B邑zier property,node 4 第一章 绪论 一 随着计算机技术的发展和普及,计算机辅助设计(CAD)技术也得到了迅猛的发 展,它们推动了许多领域的设计革命,CAD技术的发展和应用水平已经称为衡量 一个国家现代化水平的重要标志之一.CAD作为信息技术的一个重要组成部分, 将计算机高速、海量数据存储及处理和挖掘能力与人的综合分析及创造性思维能力 结合起来,对加速工程和产品的开发、缩短设计制造周期、提高质量、降低成本、 增强企业市场竞争能力与创新能力发挥着重要作用.随Intemet网络和并行、高性能 计算及事务处理的普及,异地、协同、虚拟设计及时仿真也在CAD中得到了广泛 应用.使得CAD系统从最初的只能应甩于制图到现在的CAD系统的可视化、集成 化、智能化、网络化. .§1.1 CAD中曲线曲面的数学描述方法 曲线曲面可以用隐函数、显函数或参数方程表示。用隐函数表示不直观,作图 ),=mx+b)等问题。此外,隐函数和显函数只适合表达简单、规则的曲线曲面。自 由曲线曲面多用参数方程表示,相应地称为参数曲线或参数曲面。空间的一条曲线 可以表示成随参数t变化的运动点的轨迹,其矢量函数为: P(t)=P(x(t),y(t),z(t)) ,t的范围是[O,1] 同理,空间中的一张曲面可用参数(u,v)表示为: 用参数表示曲线)具有几何不变性。某些几何性质不随一定的坐标变换而变化的性质称为几何不 变性。曲线形状本质上与坐标系的选取无关。 (2)可以处理无穷大的斜率。dy/dx=(dy/dt)/(dx/dt) (3)参数方程将自变量和’因变量完全分开,使得参数变化对各因变量的影响可以 明显地表示出来。 (4)可以处理多值曲线)规格化参数变量,使其相应的几何分量是有界的。由于参数限制在0到1的 闭区间之内,因而所表示的曲线总是有界的,不需另设其他数据来定义其边界。 一(6)对曲线曲面形状控制的自由度更大。如一条二维三次曲线的显式表示为: Y=ax3+k2+cx+d 其中只有4个系数可控制曲线的形状,而对于其参数表示为: X=at3+bt2+ct+d Y=et3+ft2+gt+h 其中有8个系数可用来控制曲线)易于用矢量和矩阵表示几何量,从而简化了计算。 §1.2 CAD中参数曲线曲面造型方法发展历史 计算机辅助设计(CAD)的根本任务是为产品的开发和生产建立一个全局信息模 型,而曲线曲面的精确描述和灵活操作能力是评定一个CAD系统功能强弱的重要 因素,从CAD和计算机图形学的应用全局来看,自由曲线曲面造型的作用远远超 过了实体造型,这是因为传统意义下的实体造型技术至今还限制在操作圆锥体、椭 球体等规则曲面形体,而地形地貌描述、矿藏储量图示、铁路勘察设计与环境工程、 人体器官造型与CT图象三维重建、服装设计、制鞋、虚拟视景生成等都要用到不 规则曲面的拟合和生成技术,这些问题的覆盖域要宽广得多,求解的技术难度也更 大(【朱00】).CAD中由已知曲线或曲面的数学方程生成的曲线曲面称为规则曲线曲 面,例如柱、锥、球面等,常用隐函数或二次方程的显函数来表示.但在汽车、轮 船、飞机、模具、艺术品等产品设计中,存在大量的曲线曲面是不能用二次方程来 Form Form 描述,这类曲线曲面称为自由曲线(Free Surfaces), Cures)和自由曲面(Free 这些是计算机辅助几何设计所研究的主要几何形状。自由曲线可以是由一系列的小 曲线段连接而成,自由曲面可以是由无数个小的蓝面片拼合而成。因此,曲线曲面 的研究重点是曲线段或曲面片的描述及其连接拼合方法。 长期以来,自由曲线曲面成为CAD中用于描述形状信息的主要工具,也可以 这么说,自由曲线曲面是整个CAGD的基础.它起源于汽车、飞机、船舶、叶轮等 的外形放样工艺,由Coons、B6zier等大师于二十世纪六十年代奠定其理论基础 ([BFK84]). 6 1963年美国波音飞机公司的Ferguson首先提出将曲线曲面表示为参数的矢函 数方法,并引入参数三次曲线.构造了由四个角点的位置及两个方向切矢定义的 描述的标准形式. 有一般性的曲面描述方法,只要给定围成封闭曲线的四条边界就可定义一块曲面 中,应用最广泛的只是Coons双三次曲面片.它与Ferguson双三次曲面片的区别,. 只是将角点扭矢由零矢量改为非零矢量.但这两种方法都存在形状控制与连接问题. 间的连接问题提供了一种可能.用来描述几何形状的样条方法称为参数样条曲线曲 面.样条方法在构造整体达到某种参数连续阶的曲线曲面非常方便,但是它没有局 部形状调整的自由度,其形状难以预测. 1971年法国雷诺汽车公司的B6zier提出一种由控制多边形设计曲线的新方法. 以这种方法威基础,完成了一种自由型曲线和曲面的设计系统UNISUR,1972年在 顶点的绝对矢量方便,并发现上述B6zier基表示形式能被改写成现在广泛使用的用 控制顶点P定义的Bemstein基表示形式。 84,常78,苏 从70年代中期开始,国内对B6zier方法也作了大量的研究([Cha 而且漂亮地解决了整体形状控制问题.设计人员只要移动控制顶点就可方便地修改 曲线的形状,且形状的在预料之中.B6zier方法在CAGD学科中占有重要地位,它 把曲线曲面的设计向前推进了一大步,为曲面造型的进一步发展20奠定了坚实的基 础.但是B6zier方法仍存在连接问题和局部修改问题,而且当特征多边形边数较多 时,则多边形对曲线年,de B样条方法,他们将Bemstein基函数换成玎次B样条基,从而将向量形式的 Bemstein逼近改成向量值形式的B样条逼近.他们通过这种途径构造了等距B样 条曲线zier方法的一切优点,克服了B6zier方法存在的缺点, 较成功地解决了局部控制问题,又轻而易举地在参数连续性基础上解决了连接问题, 从而使自由型曲线曲面形状的描述问题得到较好解决.与控制多边形和节点相联 ([For72,PP91]). 在飞机外形设计与绝大多数机械零件中经常遇到许多由二次曲线弧与二次曲线 表示的形状,入机身框截面外形曲线一般地由多段圆弧、椭圆弧、抛物线弧等二次 曲线弧和直线段连接而成.机械零件、塑料制品中圆柱面、圆锥面、圆环面等二次 曲面及平面构成的形状比比皆是.B样条方法在表示与设计自由曲线曲面形状时显 示了强大的威力,然而在表示和设计这些由二次曲线、曲面构成的形状时遇到了麻 烦,这就造成了产品几何定义的不唯一,使曲线曲面没有统一的数学描述形式,容 易造成生产管理混乱.为了精确表示二次曲线与二次曲面,就不得不采用另外一套 数学方法,譬如用代数几何的隐式方程表示.在参数表示范围里,1968年,Forrest 线曲面描述不相容的方法,这就导致一个几何系统存在两种不同的数学模型,这是 系统设计人员所忌讳的.解决这个问题的途径,显然就是改造现有的B样条方法, 使其由统一的表示方法.所以为了满足工业界进一步的要求,1975年美国Syracuse 最为广泛流行的技术.NURBS方法的提出和广泛流行是生产发展的必然结果. NURBS方法的突出优点是:可以精确地表示二次规则曲线曲面,从而能用统 一的数学形式表示规则曲面与自由曲面,而其它非有理方法无法做到这一点;具有 可影响曲线曲面形状的权因子,使形状更宜于控制和实现;NURBS方法是非有理 B样条方法在四维空间的直接推广,多数非有理Ei样条曲线曲面的性质及其相应算 法也适用于NURBS曲线曲面,便于继承和发展.由于NURBS方法的这些突出优 准,将NURBS方法作为定义工业产品几何形状的唯一数学描述方法,从而使 NURBS方法成为曲面造型技术发展趋势中最重要的基础.综上所述,自由曲线曲面 技术是CAGD的核心,而NURBS方法作为自由曲线曲面的造型方法,由于其统一 的数学模型而成为CAD/CAM的一个标准.长期以来,几何外形的数学模型化和数 据平滑化促使了样条方法的发展;反过来,样条理论和方法的建立,为自由曲线.曲 面的发展提供了重要的依据和工具. §1.3 CAD中的样条曲线 时他是以研究无穷区间上等距节点数据的平滑问题为背景引入样条函数的。如果用 样条函数为工具来研究图形的几何性质,由于表达方式缺乏几何不变性,所以非常 不方便。为了克服这个困难,人们将样条函数“几何化”得到参数样条曲线曲面。 构造了样条函数,那么相应地就产生了参数样条曲线曲面。例如: 三次样条函数 .三次参数样条曲线) ’ 双三次样条函数(deB00r,1962) -Coons曲面(1964-1967) Bemstein基函数’.B6zier曲线) ———————●—甲 B样条函数(Schoenberg,1946) .B样条曲线) 下面对CAGD中出现的一些样条方法进行系统的介绍。 1.3.1 B样条曲线zier方法的基础上引入的.B样条曲线方程可以写为: p(f)=∑PM,t(f)tk≤,≤乙…nk i=1 其中只,江1,2,…,刀为控制顶点,其顺序连成的折线称为B样条控制多边形 Ⅳ『.。(,),i=1,2,…,刀,称为七阶规范B样条基函数,它是相应于参数f轴上不均匀分 割丁={0)≥。的后阶分段多项式 ‘ M.。(f)=(‘+。一‘)【‘,0。,…,‘+。](x-0k+~, 即为截断幂级数(t+。一‘)(x—f),相对于变量x在节点ti‘+p…,,M处的尼阶广义差 商.deBoor(1972)和Cox(1971)分别用递推公式得到B样条基函数 卜归是 黔卜∽,, 卜归兰‰(,)+糕‰t∽ 基是多项式样条空间中具有最小支撑的一组基.显然Bdzier曲线是B样条曲线的特 殊情况,’既拥有B6zier曲线的几何特性,如几何与仿射不变性、凸包性、保凸性、 变差缩减性(V.D.)等优良性质,又拥有形状局部可调及连续阶数可调等B6zier曲线 所没有的特性.且具有如Boehm插节点、离散等简单易用的计算方法.当把节点等 曲线.均匀B样条可以等价地定义为([LR80]): Ⅳ『,。(!)=『:=:t+l∥/2】VTf’。一i@)ax. 其中 ..,, I 1 —1/2≤f—f≤1/2 M,-(‘)210 其他 1.3.2 Gamma“样条曲线年,Boehm利用简单的比例关系即仿射变换概念,直接从一个控制多边 形构造出G2三次样条曲线,称之为Ga瑚ma样条曲线.给定一控制多边形昂鼻…只+:, 10 . 一个节点划分△:f。.f。…乙,一组形状参数,一组形状参数y,,y2,…y川,就定 义了一条Gamma样条曲线zier控制顶点可被仿射地给出,内部的 B6zier控制顶点为 l-b3i_2华只+警% 卜=警P+半% 其中 A=形一lAf一,+Af_1+△f 只 ‰ 盔= 魂;=马 魄 图1.1Gamma样条曲线川 在样条曲线的两端,可以另外规定首末B6zier控制顶点60和b,。。 2 三次样条曲线 Gamma样条曲线的:。若所有的,,。=1,G 就变成为C2三次样条曲线.在使用Gamma样条曲线设计时,由设计人员规定一控 制多边形及每边上一对不重合I拘B6zier控制顶点,然后使系统自动计算形状参数与 连接点,这样有时候会更方便. 1.3.3广义Ball样条曲线 。系统的建立,彻底改革了传统的飞机外形设计中繁琐费时的手工放样工艺.八十 年代初,我国成都飞机公司等单位(【李85】)又对Ball创造的曲线原型进行研究、移植 和扩充,在飞机研制中取得显著的成效.马来西亚数学家([Said89])在和英国数学家 Goodman 89;WGJ,87;])提出了另一种广义Ball曲线.其构思的第一个特点是这种曲线的同一 族基函数中,基的次数按序号呈阶梯形分布,两头低中间高,相邻两个基的次数一般 在递归求值、包络性质、升降阶算法等方面作了系统的对比研究.结果表明,在求 种广义Ball曲线≤i--[./21—1. Z 卵(,)= 拧]∥: i=刀/2, n12) s:-,(1一,), ’L./2J+,≤i≤力. (2,)‘(1一r)m, 0≤iL./2J一1, (2f)h坨J(1一or.72I, i=Ln/2J, 形”(,)= (2(1一f))-72Jtr.72I, i=1-./21,. 哗,(1-t), Fn/2l+i≤i≤,2. 这里bj表示小于或等于x的最大整数,卜]表示大于或等于x的最小整数,则门次 12 {_G『}nO∈吼3,则门次多项式曲线 Ot≤l, s(f)=∑ST(t)D,, i=0 ∥(,)=∑形”(f)Gi,0≤f≤1 i=0 分别称为玎次Said-Ball曲线,n次Wang—Ball曲线非均匀代数三角B样条 在1964 85])等 当 条([Chen03])。对参数f轴上的分割T={f,)盖。,非均匀代数三角B样条定义如下: k=2时, f sin(t—rf)/sin(fj+l—t)‘f≤‘+l I+lf≤‘+2 M。20)={sin(t_f+2一t)/sin(tf+2一‘+1) l 0 其它 当k≥2时 M,。(f)=Lt。(4,。Ⅳ『卜i(x)-4+l,k-IM扎“(x)p 吼=(e哪)出)~ . 非均匀代数三角B样条拥有B样条的大多数性质,如连续性,和一性,变差缩减性, 细分性质等,非均匀代数三角B样条曲线能精确表示圆,椭圆等非多项式曲线。取 适当的节点向量,非均匀代数三角B样条可变成C.Bdzier样条,当节点向量是均匀 时,·又可以得到均匀三角多项式B样条。 ‘ 1.1.5卜样条 B 样条理论,进而考虑了在由微分算子所定义的核空间上定义ME样条([Sch81]). 假设三是具有如下形式的微分算子: n-I 口≤x≤6 L=D”+∑q(x)∥, i=0 其中 Qi(x)∈C”“【口,b】,i=O,1,…17-1 称 人-={厂∈茸[口,b】:zf(x)=o,a≤z≤b) 为£的核空间. 1≤聊,n,i=1,2,…,k,称满足下列两个条件的样条为£样条: (1)在每个区间上为核空间中的函数. (2)在每个节点t处有直到,2一mr阶导数. 同时,Schumaker还研究了三样条的构造等等.另一方面,Pottmann利用开花 (blossoming)方法和deCasteljau算法来研究TchebycheffianB样条曲线]), 是由线性微分算子定义的核空间([WP94,PW94]).特别地j在三次的情况下可得下 面三种类型的样条: (1){1,t,r2,t3),即三次多项式样条. (2){l,f,sint,cost),为螺旋样条(【PW94】). (3){1,f,sinht,cosht},也即张力样条([KL89】). 1.1.6螺旋样条 B样条,是以B6zier的形式提出来的.它是 螺旋样条作为对称的Tchebycheffian 14 1,f,sint,COSt的一个线性组合 cost,t∈1 s(t)=q+c2f+c3sint+c4 其中参数区间I≤2万。 假设螺旋样条曲线岛。螺旋样条的形状是由参数区间1的长度 j 决定,当I,l o时,螺旋样条曲线,而当区间长度 I,l一2:r时,曲线。螺旋样条可以精确地表示直线、圆、螺旋线, 而且其参数为弧长参数.相应的张量积曲面可以表示螺旋面、旋转面等([MWW01]). Pottmann提出的螺旋样条在本质上是一致的.他不仅给出了C.B样条基函数的显式 表示,同时还给出了C.B样条曲线zier曲线的互化公式,进一步还得到了C.B 样条曲线的细分公式.C.B样条曲线与三次均匀B样条具有许多类似的性质,如权 性、端点性质、对称性、几何不变性、凸包性、局部性等等,且其节点区间的长度 相当于形状参数,可以控制曲线的变化.当区间长度趋向于0时,C.B样条曲线次均匀B样条曲线.C.B样条曲线无需有理形式就能够精确表示圆弧、椭 圆弧。 1.1.7张力样条 张力样条是Schweikert为消除三次插值样条有时会出现多余拐点而引入的 a a与coshx ([Sch66]).这时考虑的分段曲线由直线插值加上两个双曲函数sinhx 的线性组合: cosht Sh(t)=cl+c2t+C3sinht+c4 整体具有二阶连续导数。,这里口称为张力因子,用以控制曲线上拐点的位置。 首先给出有限区间上张力样条的严格定义: 定义:函数SH(t)称为划分 a=xo而…h’=6 上的张力样条,是指它满足以下两个条件: . (1)在区间【■书■】,/=l,2,…,N上是l,f,sinht,cosht的线性组合,也就是说, (r三)(跗(『))=0, 这里微分算子 、 出k出 J 上=丢(丢一口),c口。, (1)SH(t)∈C2【口,b】。 一 张力样条有时也称为简单双曲样条([Bau761). ,,。 由定义马上可得,当口_0时,三一告,张力样条趋向于三次多项式样条。因而, 叙‘ 张力的大小反映了该样条偏离三次样条的程度;当a—00时,张力样条曲线趋向于 的指数样条实际上与上面的张力样条等价,他采用的基是{l,,,em,e唰)以代替上面的 取做了大量的研究([Cli74,NF84,Pre67,Pru76,Ren87,RenS0])。 ·§1.4 CAD中带形状参数的样条曲线 Beta样条曲线连续的三次均匀B样条曲线连续的.除了控制顶点外,Beta样条 曲线还提供了额外的形状参数,可以对曲线的形状进行进一步的控制.假设两参数曲 2连续,根据参数曲线的几何连续性定义有. 线s。(f),S。(f),0≤f≤1在连接点处G fs(o)=so(1) {q(o)=illSo(1) 【蠢(o)=p2So(1)+群瓦(1) ’ 其中含有两个形状参数∥。和反,可以通过调整屈和以来控制形状. 1.G1二次Beta样条曲线给定控制多边形顶点,只,i=0,l,…,刀+l和一组形状参数 屈0,f_0,l,…,玎,一条G1的二次Beta样条曲线】,i=O,I,.1一,”一1 j=o 的B6zier控制顶点b2,,62川,如m由控制多边形只,只+p只+:及形状参数屈,屈卅决定如 下: 62Ⅲ=Z+。 b:垒墨±墨丛2I 1+pi k警静 一 当将所有的屈取为1时,那么所有的连接点都位于控制多边形相应边的中点,G1 二次Beta样条曲线二次均匀B样条曲线三次Beta样条曲线zier曲线的第i段 只(f)=∑63¨色.3(f),t∈【o,1],i=O,l,.1一,门一1 的控制顶点63¨,/=o,1,2,3由控制多边形只,只小17,伽只+,及形状参数届∥屈..决定 如下: 图1.2 G2三次Beta样条曲线 -『=f,f+l,j+2按下列式子决定,如图1.2 2(1+p、。i) y==—————————————————:———·——一 川屈。l+2,81,f(1+屈,,) b3i+!-攀警 ^ 一线一—i万砑丁 驴等孛 二 第i段的最后一点岛m可作为第i+1段的第一个点63(Ⅲ)来求,只需将上面的式子中 G27¨欠Beta样条曲线来代即可。当所有的届.,=1,屈.,=0时, 三次均匀B样条曲线三次带形状参数均匀B样条 的严谨性,我们称之为三次带形状参数均匀B样条曲线,其基函数定义如下: bo(f)2玄(4一力一3At)(1一f)3 ㈣2奇(16+22—12(2+2)t2+12(1+,z)t3_32t4】 b2(t)2西1【(4_旯+12r+6(2+2)t2-12t3-32t4】 63(忙玄(4—4五一32f)r3 给出四次多项式调配函数,它是三次B样条函数的扩展,基于给出的调配函数,建立 一种带形状参数的分段多项式曲线的生成方法。通过改变形状参数的取值,可以调 整曲线接近其控制多边形的程度,可以调整曲线从三次均匀B样条曲线的两侧逼近 三次均匀B样条曲线。选取不同的形状参数值,可以得到不同位置的C2连续的曲线, 且所给曲线与三次均匀B样条曲线二次带形状参数三角多项式曲线年Han Xuli[Han02]提出了二次带形状参数三角多项式曲线。 二次带形状参数三角多项式样条基函数如下定义: tiff(t,) “∈【“,,甜“1) 1一口Ⅲc(¨一屈+·地1) “∈Ui+I,/gi+2) 岛@)= f_o’1’.一,,? 呸+2c(‘+2) U∈[U“2,//i+3) 0 甜萑[甜f,““3) 二次带形状参数的三角多项式曲线很类似于二次B样条曲线,每段曲线由三个控制 顶点决定,在非均匀节点向量时,可达到C1连续。使用二次带形状参数三角多项式 曲线可以产生位于二次B样条曲线附近的曲线,并且通过调整形状参数可生成比二 次B样条曲线更靠近控制多边形的曲线。.二次带形状参数的三角多项式曲线还可以 精确表示椭圆。 §1.5 本文的主要研究内容 本文针对自由曲线曲面造型中各种带形状参数样条曲线曲面进行了深入的研 究,用积分及递归方法分别提出了带形状参数均匀B样条基函数,均匀三角多项式B 样条基函数,均匀双曲多项式B样条基函数,带形状参数B6zier样条基函数,带形状 基函数,带形状参数三角多项式B样条基函数,带形状参数双曲多项式B样条基函数。 研究了上诉各种带形状参数样条基函数和曲线曲面的性质以及形状参数的取值范 ● 围。 本论文共分六章,各章内容安排如下: 第一章对CAD曲线曲面造型方法中的参数曲线曲面发展历史以及各种带形状参 数样条曲线曲面理论的背景,分类,特点,性质等进行了综述。 第二章给出了n阶带形状参数的均匀B样条基函数,n阶带形状参数的三角多项 式均匀B样条基函数,n阶带形状参数的双曲多项式均匀B样条基函数。 19 由这三类带形状参数的均匀B样条基组成的样条曲线可通过改变形状参数 的取值而调整曲线的形状.随着阶数的升高,形状参数的取值范围将扩大。 带形状参数的三角多项式均匀B样条基组成的样条曲线可通过改变形状参 数的取值而调整曲线的形状,并且可以精确表示圆,椭圆,螺旋线等曲线。 带形状参数的双曲多项式均匀B样条基组成的样条曲线可通过改变形状参 数的取值而调整曲线的形状,并且可以精确表示双曲线。 第三章通过积分方法构造带形状参数的B6zier基,带形状参数的三角B6zier基, 带形状参数的双曲B6zier基。形状参数可以调节曲线的形状和位置,并且 这三类带形状参数的B6zier曲线zier曲线的良好性质。 带形状参数的三角B6zier曲线zier曲线的良好性质,还 可以精确表示圆,椭圆。带形状参数的双曲B6zier曲线可以精确表示双曲 线。 第四章通过积分定义给出了n阶带形状参数的B样条基函数,n阶带形状参数三 角多项式B样条基函数,n阶带形状参数双曲多项式B样条基函数。n阶 B样条基函数是n阶带形状参数的B样条基函数的一个特例。由这三类带 形状参数的B样条基组成的样条曲线可通过改变形状参数的取值而调整曲 线的形状,同时具有与B样条曲线相同的结构和几何性质.由带形状参数 . 三角多项式B样条曲线可以精确表示椭圆和圆。带形状参数双曲多项式B 样条曲线可以精确表示双曲线。 第五章用数学归纳法证明了当形状参数兄∈【一2,l】时,带形状参数的均匀B样条基 、函数M.。(f)是规范化全正基:当形状参数五∈[-l,1】时,带形状参数的三角 多项式均匀B样条基函数S从(,)是规范化全正基:当形状参数 1 -cth2去≤旯≤0时,带形状参数的双曲多项式均匀B样条基函数H触(f)是 二 规范化全正基。所以当形状参数在一定范围内时,上述三种带形状参数的 均匀样条曲线具有VD性质,从而拥有很好的保形性。 第六章对全文的工作、创新点和理论、实际意义做一个总结,并展望今后的研究 ‘ 工作。‘ 20 第二章 带形状参数均匀样条曲线 引言 均匀B样条是CAGD中一个很有用的工具,在此基础上人们又提出了各种B样 等。为了调整曲线的形状或改变曲线zier曲线和有理B样条曲线 足的地方,如对给定的控制点,均匀B样条曲线的位置是确定的,如果要调整曲线 的形状,需要调整控制多边形。均匀B样条曲线不能精确表示圆,椭圆,双曲线等 一些代数曲线]中构造了带形状参数的曲线,可以在控制多边形不变时, 通过调节参数大小而调整曲线的形状,而形状参数调整的范围是【一1,1】。Barsky构造 干性质,并且有两个可调形状参数,可以达到G2连续。更一般地,本文提出了三种 k阶(j}≥2)的带形状参数均匀样条曲线,可以精确表示圆,椭圆,双曲线等一些代 数曲线。本文中的三种k阶(七≥2)带形状参数均匀样条曲线,都有一个可调形状参 数,并且有高于∥样条曲线连续。在控制多边 形不变的情况下它能生成不同位置的曲线,同时具有与均匀B样条曲线相同的结构 和几何性质。随着阶数的升高,形状参数可调整范围也越来越大. §2.2带形状参数均匀样条基函数的构造 ● eu0’2(t)dt=1,然后利用递归和积分方法构造带形状参数均匀样条基函数如下: Ui,2(f)=UO,20—i),江O,±1,±2,… 本章部分内容一篇已于2004年发表于《计算机辅助几何设计与图形学学报》第16卷第6 期,pp:783—788;一篇将于2005年发表于《软件学报》。 21 当(七≥2)时,根据定义,很容易得到u¨(f)(f-0,±l,±2,…)所具有的性质.由于u啦(f) 样条基函数,其中兄为形状参数。选择不同的初始函数将会产生不同的基函数。下 面分别给出三个不同的初始函数将产生不同的带形状参数均匀样条基函数及相应的 曲线初始化 取初始函数: 吾办2+(1一五)r o≤,l Ⅳo.2(f)= (2.3.1)其中一2≤五≤l 三懈叫2+(1一似2-,)K.f2 0 其它 Otl ;[(1+旯)sin三f一见sin万fI So.2(f)= (2.3.2)其中一1≤21, 署[(1+五)sin三f+五siIl万f】1≤f2 O 其它 而e【(1+删卜而2e五s例 。≤f1 Ho.2(f)= 而e【(1圳s懈-f)一斋枷2(2-f)】1≤f二2(2.5.1) ,、 . 其它 U 其中一cth21≤五cth2—1 r2 2 通过2.2节中介绍的递归和积分方法可得到(k一1次)k阶带形状参数均匀B样条 基函数M,。(,),七阶(k-1次)带形状参数三角多项式均匀B样条基函数s¨(f),k 阶(七一1次)带形状参数双曲多项式均匀B样条基函数H¨(f),其中旯为形状参数。 文献[Han03]qU构造的三次带形状参数均匀B样条是本文k阶带形状参数均匀B样条 的一个特例,文献【Han02]中构造的二次带形状参数三角多项式均匀B样条是本文k 阶(k一1次)带形状参数三角多项式均匀B样条的一个特例。根据定义,很容易得 数均匀B样条基函数和3至8阶的带参数均匀B样条基函数的形状图,其中A=0.3, 图2.3.2显示了2阶带参数均匀B样条基函数和3至6阶的带参数三角多项式均匀B 样条基函数的形状图,其中/7,=O.5。图2.3.3显示了2阶带形状参数双曲多项式均 匀B样条基函数和3至6阶的带形状参数双曲多项式均匀B样条基函数的形状图, 其中兄=2。 a.2阶带形状参数均匀B样条基函数 b.3至8阶带形状参数均匀B样条基函数 图2.3.1各阶形状参数均匀B样条基函数的形状图(旯=0.3) 图2.3.2各阶形状参数三角多项式均匀B样条基函数的形状图(允=O.5) a.2阶带形状参数双曲多项式均匀B样条 b.3至8阶带形状参数双曲多项式均匀B样条 图2.3.3各阶形状参数双曲多项式均匀B样条基函数的形状图(名=2) 24 §2.4带形状参数均匀样条的性质 性质2.4.1当五=0时,M,。(f)就是七阶均匀B样条(七≥2). I,0≤r1 2一f lt2 证明:兄=0时,Ⅳo.2(r)=t 是二阶均匀B样条,再由M,。(f)以及均 【0 其它 匀B样条的定义易知M.。(f)是七阶均匀B样条. 性质2.4.2非负性: M,女O)≥0,S,t(f)≥0,14,,☆O)≥0,t∈(一00,+∞) No,2(x)出≥0, 证明:由M,女(f)的定义易知No,2(f)≥0,则Ⅳ0,,(f)=J¨t No,。(f)=』:一。Ⅳo,。(x)出≥o……这样下去可得 t,-1 No卜1(x)出≥0,从而Ni,々(f)=No.I(f—f)≥o· “,I(f)=J 同理可证S,女(f)≥0,/-I,,I(,)≥0。 性质2.4~局部媒陛∽心域(,)刚D{三三菇√“’ 性质2.4.4归一性: (忌≥3) ∑N啦(f)-1,Es,,I(t)-1,∑皿,t(t)-1 f I l 证明:k=3时,显然成立,当k3时,由M.。(f)的定义知 ZN,,。(f)=∑,:一。M,,(x)出=,:一。∑Ⅳf.,(x)出=f-Idx三1 ∑M,,(o--Z J:一。M,。(x)出=』:一。∑ⅣJ.。(x)出=f_dx兰1……这样下去就得到 ∑Ⅳf,。(f)=∑I-IⅣ啦一。(t)-1. 同理可证Es,,。(f)=-1,∑E,(t)1。 i l 性质2.4.5求导公式: 。 Ⅳ;,k(f)=Ⅳ啦一1(f)一Ⅳi+1扣10) Si,女(f)=S卜l(f)一S+l,k-I(f) 25 皿,t(f)=皿卢1(f)一E+l,k-I(f) 证明:由Ⅳf.。(f)的定义知,两边同时求导可得: gl,女(f)=M卜l(f)一Ⅳ『卢l(,一1)=Ⅳ『卜l(f)一M+l,k-I(f) 同理可证S,tO)=S,t一。O)一S+1.k-IO),Hi,。O)i耳,t一。(f)一耳+l,k-IO) 性质2.4.6 上线性无关,特别地,Ⅳf,女(f),M+l。(f),…,Ni吨。O),S,。O),瓯。,I(f),…,S叱女(f), %,t(,),/t,“I(,),…,耳帆女(,),仍≥七)在区fs-J【f+k一1,i+,7+1]上线性无关。 线性无关,则当k=n+l时,令∑alN,,:+,(,)=0,两边同时求导得到: f ∑口,Ⅳ;’州(r)=0。由性质2.4.5可得E【口,M,。(t)--OE,NⅢ,。(,)]-0,即 j f i=O,±1,±2,…, 口f=口f—l=口, 代入∑口,N切+。(f)=0,得 , (一oo,栅)上线性无关,证毕。 同理可证s,。(f)I二,骂.。(f)I二(汪o,±l,±2,…)(-oo,佃)上线对称性: N,,I(f+七一,)=N,,t(f+f) S,女(f+七一,)=S,女(f+f) 耳,★(i+k-t)=皿,女(f+f) 证毕. =No卅1(r)=Ⅳ『卅l(f+,),即M卅l(f+n+l-t)=M卅l(f+f) 26 同理可证S,l(f+七一f)=S,女(f+f),哆,I(i+k-t)=E,I(f十f)。 性质2.4.8连续性:M,I(f),S,。(f),皿,。(,)在整个参数空间上为k-2阶连续. 七一2阶连续.证毕. 连续,这样下去可得M.。(f)=hⅣ『卜。(x)出 同理可证S,t(f),E。k(t)k-2阶连续。 §2.5形状参数兄的取值范围 本文所给出带形状参数均匀B样条基函数N¨(f)的形状参数兄的取值范围是 一2≤z≤1,带形状参数三角多项式均匀B样条基函数S.。(f)的形状参数力的取值范 围是一1≤名≤1,带形状参数双曲多项式均匀B样条基函数q.。(f)的形状参数五的取 值范围是一c砌z丢≤旯_cthz丢。实际上,随着阶数的增加形状参数兄的取值范围还可 以扩大,以下定理给出了Ⅳ啦(,),Si.。(f),q,。(,)的形状参数五取值范围。 在f∈(o,Ji})中s:,。(f)的零点个数为1个或3个;当旯cth2 il时,在f∈(o,七)中反,。(f) 的零点个数为1个或3个. 证明:假设联.女(f)在,∈(o,七)存在聆个零点 k一2 由性质2.3.5递归可得:N1,t2’(r)=∑(一1)7c:一:N啦(f) f_0 .·.啊譬2’(。)=Ⅳ5}2’(七)=。,啊譬2’(f)=(一1)¨(1+害)锚,f寻1,2.“二1 ·.‘Ⅳ5譬2’(f)是二次函数,啊譬2’(f)C。连续 .·.Ⅳ5譬2’O)最多存在尼+2个零点. 由Ⅳ耻(,)的定义可得:Ⅳ5:!:『1’(o)=Ⅳ5譬1’(七)=o.,则由罗尔定理知:o(以≤3 ·.!氓,t(孝)=氓,t(』}一国,No,k(争=Ⅳ:卜。(争一Ⅳ:川(争=。 27 .·.力≠2 .·.门=1或,2=3 同理可证当五~1时,在,∈(o,七)中&.女(f)的零点个数为1个或3个;当五cth2—1 时,在r∈(o,七)中或。。(,)的零点个数为1个或3个. 当一砌2圭≤五,凰“争≥o时,q“,)≥。。 证明:当一2≤兄≤1时,由性质2.4.2知Ⅳfj(,)≥0 当名-2 ,由定理2.5.1知在f己(o,后)中“.七(f)的零点为1个或3个 (1)若在,∈(o,七)中联,。o)的零点个数为l,即“,。(娄):o 由Mj(f)的定义可得,当f∈(0,1]时 Ⅳ:,t(,)=!!二二÷_!铲r々一2!!群,々一2。,(七3)(I) ··· 联,tp)。,,∈(。专);“。t。)o,f∈唾,Ij}),即f=鱼2为极大值点 ·.‘Ⅳo。t(后)=Ⅳ0。七(O)=0 ·。·Ⅳo.女(,)≥0,Nj^(,)=No,I(t-i)Ⅻ0 一 (2)若在f∈(o,尼)中“.。(f)的零点个数为3,那么 若r=鱼2为联,女O)的三重零点,则证明过程与(1)相同。 若M“f)的零点为f

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