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函数的凹凸性为什么要用二阶导数

发布时间:2019-09-12 21:20 来源:未知 编辑:admin

  一阶导数反映的是函数斜率,而二阶导数反映的是斜率变化的快慢,表现在函数的图像上就是函数的凹凸性。

  f′′(x)0,开口向上,函数为凹函数,f′′(x)0,开口向下,函数为凸函数。

  设函数y=f(x)在区间I上连续,如果函数的曲线位于其上任意一点的切线的上方,则称该曲线在区间I上是凹的;如果函数的曲线位于其上任意一点的切线的下方,则称该曲线在区间I上是凸的。

  在函数f(x)的图象上取任意两点,如果函数图象在这两点之间的部分总在连接这两点的线段的下方,那么这个函数就是凹函数。

  直观上看,凸函数就是图象向上突出来的。比如如果函数f(x)在区间I上二阶可导,则f(x)在区间I上是凹函数的充要条件是f(x)=0;f(x)在区间I上是凸函数的充要条件是f(x)=0;

  通俗的讲,一个函数求了一阶导数(如大于O),只能说明是递增,但不知是递增的越来越快还是越来越慢(可以类比加速度的思想),只有求了二阶导数才知道递增的速度,即凹凸性。

  那么称f(x)在D上的图形是(向上)凹的(或凹弧);如果恒有f((a+b)/2)(f(a)+f(b))/2

  在函数f(x)的图象上取任意两点,如果函数图象在这两点之间的部分总在连接这两点的线段的下方,那么这个函数就是凹函数。 同理可知,如果函数图像在这两点之间的部分总在连接这两点线段的上方,那么这个函数就是凸函数。

  如果一个函数f(x)在某个区间I上有f(x)(即二阶导数)0恒成立,那么在区间I上f(x)的图象上的任意两点连出的一条线段,这两点之间的函数图象都在该线段的下方,反之在该线段的上方。

  结合一阶、二阶导数可以求函数的极值。当一阶导数等于0,而二阶导数大于0时,为极小值点。当一阶导数等于0,而二阶导数小于0时,为极大值点;当一阶导数和二阶导数都等于0时,为驻点。

  在函数f(x)的图象上取任意两点,如果函数图象在这两点之间的部分总在连接这两点的线段的下方,那么这个函数就是凹函数。

  直观上看,凸函数就是图象向上突出来的。比如如果函数f(x)在区间I上二阶可导,则f(x)在区间I上是凹函数的充要条件是f(x)=0;f(x)在区间I上是凸函数的充要条件是f(x)=0;

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